ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55284
Темы:    [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD высота, проведённая из вершины B тупого угла на сторону DA, делит её в отношении 5:3, считая от вершины D. Найдите отношение AC : BD, если AD : AB = 2.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Примените теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Обозначим AD = 8x, AB = 4x. Пусть K — основание указанной высоты. Тогда

AK = 3xDK = 5xBK = $\displaystyle \sqrt{AB^{2}- KC^{2}}$ = x$\displaystyle \sqrt{7}$,

BD2 = BK2 + KD2 = 32x2.

Поскольку

AC2 + BD2 = 2 . AB2 + 2 . BC2,

то

AC2 + 32x2 = 32x2 + 128x2.

Отсюда находим, что

AC2 = 128x2AC = 8x$\displaystyle \sqrt{2}$.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AC}{BD}}$ = $\displaystyle {\frac{8x\sqrt{2}}{4x\sqrt{2}}}$ = 2.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

2:1.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4031

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .