Информация о задаче

Задача 55316

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Теорема о сумме квадратов диагоналей	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AD взяты соответственно точки K, L и M. Известно, что AK = 5, KB = 3, BL = 2, LC = 7, CM = 1, MA = 6, Найдите расстояние от точки M до середины KL.

Подсказка

Примените теорему косинусов и формулу для медианы треугольника.

Ответ

${\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{3529}{21}}$ .

Поскольку AB = 8, BC = 9, AC = 7, то по теореме косинусов

cos $\displaystyle \angle$ A = $\displaystyle {\frac{8^{2} + 7^{2} - 9^{2}}{2\cdot 7\cdot 8}}$ = $\displaystyle {\frac{32}{16\cdot 7}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{7}}$ ,

cos $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle {\frac{8^{2} + 9^{2} - 7^{2}}{2\cdot 8\cdot 9}}$ = $\displaystyle {\frac{96}{16\cdot 9}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ ,

cos $\displaystyle \angle$ C = $\displaystyle {\frac{9^{2} + 7^{2} - 8^{2}}{2\cdot 9\cdot 7}}$ = $\displaystyle {\frac{66}{2\cdot 63}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{11}{21}}$ .

Из треугольников AKM, BKL и CML находим, что

KM² = 5² + 6² - 2^.5^.6^.cos $\displaystyle \angle$ A = 61 - $\displaystyle {\textstyle\frac{120}{7}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{307}{7}}$ ,

KL² = 3² + 2² - 2^.3^.2^.cos $\displaystyle \angle$ B = 13 - 8 = 5,

ML² = 7² + 1² - 2^.7^.1^.cos $\displaystyle \angle$ C = 50 - $\displaystyle {\textstyle\frac{22}{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{128}{3}}$ .

Пусть P — середина KL. Из треугольника KML по формуле для медианы находим, что

MP² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2MK² + 2ML² - KL²) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{2\cdot \frac{307}{7} + 2\cdot \frac{128}{3} - 5}\right.$ 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{307}{7}}$ + 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{128}{3}}$ - 5 $\displaystyle \left.\vphantom{2\cdot \frac{307}{7} + 2\cdot \frac{128}{3} - 5}\right)$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{84}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{6\cdot 307 + 14\cdot 128 - \frac{21}{5}}\right.$ 6^.307 + 14^.128 - $\displaystyle {\textstyle\frac{21}{5}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{6\cdot 307 + 14\cdot 128 - \frac{21}{5}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{84}}$ (1842 + 1792 - 105) = $\displaystyle {\textstyle\frac{3529}{84}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4063