Информация о задаче

Задача 55320

Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Площадь трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольной трапеции ABCD основание AB в 1,5 раза больше диагонали AC. Углы BAD и ADC прямые. Угол DCA равен углу BCA. Боковая сторона AD равна 4. Найдите площадь трапеции ABCD.

Подсказка

Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника ABC

Решение

Пусть AC = x. Тогда AB = ${\frac{3x}{2}}$ . Поскольку

$\displaystyle \angle$ CAB = $\displaystyle \angle$ DCA = $\displaystyle \angle$ ACB,

то треугольник ABC — равнобедренный. Если BM — его высота, то

AM = CM = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ , BC = AB = $\displaystyle {\frac{3x}{2}}$ .

Из прямоугольного треугольника AMB находим, что

cos $\displaystyle \alpha$ = cos $\displaystyle \angle$ MAB = $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{x}{2}}{\frac{3x}{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ .

Из прямоугольного треугольника ADC находим, что

x = AC = $\displaystyle {\frac{AD}{\sin \angle DCA}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

DC = AC cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{3}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\frac{AB + CD}{2}}$ ^.AD = $\displaystyle {\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}}{2}}$ ^.4 = 11 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Ответ

11 $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4067