ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55380
Темы:    [ Векторы ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK1, MK2, MK3 на его стороны. Докажите, что

$\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ . $\displaystyle \overrightarrow{MO}$,

где O — центр треугольника.


Подсказка

Через точку M проведите прямые, параллельные сторонам треугольника.


Решение

Проведем через точку M прямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точки пересечения этих прямых со сторонами треугольника, как показано на рисунке. Тогда K1, K2, K3 -- середины отрезков A1A2, B1B2, C1C2 соответственно. Поэтому

$\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{MA_{1}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MA_{2}}$),  $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{MB_{1}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{2}}$),  $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{MC_{1}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MC_{2}}$).

Кроме того,

$\displaystyle \overrightarrow{MC_{1}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{2}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MA}$,  $\displaystyle \overrightarrow{MC_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MA_{1}} $ = $\displaystyle \overrightarrow{MB}$,  $\displaystyle \overrightarrow{MA_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{1}} $ = $\displaystyle \overrightarrow{MC}$.

Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{MA_{1}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MA_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{1}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC_{1}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MC_{2}}$) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{(\overrightarrow{MC_{1}} + \overrightarrow{MB_{2}...
...htarrow{MA_{1}})
+ (\overrightarrow{MA_{2}} + \overrightarrow{MB_{1}})}\right.$($\displaystyle \overrightarrow{MC_{1}} $ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{2}}$) + ($\displaystyle \overrightarrow{MC_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MA_{1}} $) + ($\displaystyle \overrightarrow{MA_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{1}} $)$\displaystyle \left.\vphantom{(\overrightarrow{MC_{1}} + \overrightarrow{MB_{2}...
...htarrow{MA_{1}})
+ (\overrightarrow{MA_{2}} + \overrightarrow{MB_{1}})}\right)$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{MA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC}$) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 3 . $\displaystyle \overrightarrow{MO}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$$\displaystyle \overrightarrow{MO}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4529
журнал
Название "Квант"
год
Год 1983
выпуск
Номер 6
Задача
Номер М807а

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .