Задача 55390

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Из точки A к этим окружностям проведены касательные AM и AN(M и N – точки окружностей). Докажите, что
  а)  ∠ABN + ∠MAN = 180°;
  б)  ^BM/_BN = (^AM/_AN)².

Подсказка

Докажите, что треугольники MAB и ANB подобны.

Решение

  Пусть K – точка на продолжении MA за точку A. Тогда  ∠ABN + ∠MAN = ∠KAN + ∠MAN = 180°.
  Поскольку  ∠AMB = ∠BAN  и  ∠MAB = ∠ANB,  то треугольники MAB и ANB подобны. Поэтому  ^AB/_BN = ^AM/_AN,  ^BM/_AB = ^AM/_AN.
  Перемножив почленно эти равенства, получим, что  ^BM/_BN = (^AM/_AN)².

Замечания

Ср. с задачей 52430.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4709