ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55397
Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F, причём  ∠EAF = 45°.  Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q.
Докажите, что  SAEF = 2SAPQ.


Подсказка

Докажите, что EP и EQ – высоты треугольника AEF.


Решение

  Поскольку отрезок PF виден из точек A и B под углом 45°, то точки A, P, F и D лежат на одной окружности, а так как  ∠ADF = 90°,  то AF – диаметр этой окружности. Следовательно,  APF = 90°  и FP – высота треугольника AEF. Аналогично EQ – высота треугольника AEF. Поэтому треугольник APQ подобен треугольнику AFE с коэффициентом  cos∠EAF = cos 45°.
  Следовательно,  SAPQ/SAEF = (cos 45°)² = ½.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4716

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .