Информация о задаче

Задача 55431

Темы:	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
Темы:	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что длину биссектрисы треугольника, проведенной к стороне, равной a, можно вычислить по формуле

l_c = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{p( p-a)bc}}{b+c}}$ ,

где p = ${\frac{a+b+c}{2}}$ .

Подсказка

Если AD — биссектриса треугольника ABC, то

AD² = AB^.AC - BD^.DC.

Решение

Пусть продолжение биссектрисы AD пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке M. Тогда AD^.DM = BD^.DC. Из подобия треугольников ABD и AMC следует, что

AB^.AC = AD^.AM = AD^.(AD + DM) = AD² + AD^.DM = AD² + BD^.DC.

Кроме того,

BD = $\displaystyle {\frac{ac}{b+c}}$ и DC = $\displaystyle {\frac{ab}{b+c}}$ .

Следовательно,

AD² = AB^.AC - BD^.DC = bc - $\displaystyle {\frac{bca^{2}}{(b+c)^{2}}}$ =

= $\displaystyle {\frac{\left((b+c)^{2}-a^{2}\right)bc}{(b+c)^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{(b+c+a)(b+c-a)bc}{(b+c)^{2}}}$ =

= $\displaystyle {\frac{4p( p-a)bc}{(b+c)^{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4751