ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55449
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром O. Докажите, что $ \angle$AOB + $ \angle$COD = 180o.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, есть точка пересечения биссектрис внутренних углов этого четырёхугольника.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть M, N, P и Q — точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно AB, BC, CD и AD данного четырёхугольника. Обозначим

$\displaystyle \angle$MON = 2$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \angle$NOP = 2$\displaystyle \beta$$\displaystyle \angle$POQ = 2$\displaystyle \gamma$$\displaystyle \angle$QOM = 2$\displaystyle \delta$.

Тогда

$\displaystyle \angle$AOB = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \delta$$\displaystyle \angle$COD = $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$,

$\displaystyle \angle$AOB + $\displaystyle \angle$COD = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 360o = 180o.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4771

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .