Задача 55451

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9 Название задачи: Теорема Ньютона..

Условие

Докажите, что во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.

Подсказка

См. задачу 54571.

Решение

  Пусть ABCD – описанный четырёхугольник, O – центр вписанной окружности, r – её радиус, N и K – середины диагоналей AC и BD соответственно.
  Если ABCD – ромб, то все эти точки совпадают. В противном случае можно считать, что стороны AB и CD не параллельны.
  Заметим, что  S_ANB + S_DNC = ½ S_ABC + ½ S_ADC = ½ S_ABCD.  Аналогично,  S_AKB + S_DKC = ½ S_ABCD.
  Пусть P и L – точки касания вписанной окружности со сторонами AB и CD. Тогда
S_AOB + S_COD = ½ AB·OP + ½ CD·OL = ½ r(AB + CD) = ½ r(AD + BC).  Поэтому  S_AOB + S_COD = ½ S_ABCD.
  Согласно задаче 54571 точки N, O и K лежат на одной прямой.

Замечания

Более подробное изложение вопросов, связанных с теоремами Ньютона, см. в разделе "Замечательные теоремы и факты геометрии" (В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин) книги "Факультативный курс по математике", составитель И.Л.Никольская (с. 342).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4773
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.005