ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55451
Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
Название задачи: Теорема Ньютона..
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

См. задачу 54571.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Пусть ABCD – описанный четырёхугольник, O – центр вписанной окружности, r – её радиус, N и K – середины диагоналей AC и BD соответственно.
  Если ABCD – ромб, то все эти точки совпадают. В противном случае можно считать, что стороны AB и CD не параллельны.
  Заметим, что  SANB + SDNC = ½ SABC + ½ SADC = ½ SABCD.  Аналогично,  SAKB + SDKC = ½ SABCD.
  Пусть P и L – точки касания вписанной окружности со сторонами AB и CD. Тогда
SAOB + SCOD = ½ AB·OP + ½ CD·OL = ½ r(AB + CD) = ½ r(AD + BC).  Поэтому  SAOB + SCOD = ½ SABCD.
  Согласно задаче 54571 точки N, O и K лежат на одной прямой.


Также доступны документы в формате TeX

Замечания

Более подробное изложение вопросов, связанных с теоремами Ньютона, см. в разделе "Замечательные теоремы и факты геометрии" (В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин) книги "Факультативный курс по математике", составитель И.Л.Никольская (с. 342).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4773
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 1
Название Вписанные и описанные четырехугольники
Тема Вписанные четырехугольники
задача
Номер 06.005

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .