Задача 55470
|
|
 |
Условие
Даны четыре окружности, каждая из которых касается внешним образом двух из трёх остальных. Докажите, что через точки касания можно провести окружность.Решение
Пусть A , B , C и D — точки касания окружностей S1 и S2 , S2 и S3 , S3 и S4 , S4 и S1 ; O1 , O2 , O3 , O4 соответственно — центры этих окружностей.
Поскольку окружности касаются внешним образом, никакие три из точек O1 , O2 , O3 , O4 не лежат на одной прямой. Обозначим углы четырёхугольника O1O2O3O4 при вершинах O1 , O2 , O3 , O4 через α , β , γ и δ соответственно. Тогда
С другой стороны,
Аналогично
Следовательно, четырёхугольник ABCD — вписанный.
Пусть A , B , C и D — точки касания окружностей S1 и S2 , S2 и S3 , S3 и S4 , S4 и S1 соответственно. Поскольку окружности касаются внешним образом, любые три точки касания не лежат на одной прямой.
При инверсии с центром в точке A окружности S1 и S2 , проходящие через центр инверсии, перейдут в параллельные прямые S1' и S2' , а окружности S3 и S4 , не проходящие через центр инверсии, — в касающиеся между собой в некоторой точке C' окружности S3' и S4' . При этом окружность S4' будет касаться прямой S1' в некоторой точке D' , окружность S3' — прямой S2' в некоторой точке B' .
Окружности S3' и S4' гомотетичны относительно точки касания C' . При этой гомотетии касательная S2' к окружности S3' переходит в параллельную ей касательную S1' к окружности S4' , а точка касания B' — в точку касания D' . Поэтому точки B' , C' и D' лежат на одной прямой. При инверсии с центром A эта прямая перейдёт либо в себя (что невозможно, т.к. точки B , C и D не лежат на одной прямой), либо в окружность, проходящую через центр A инверсии. Следовательно, точки B , C , D и A лежат на этой окружности. Что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4792 |
