Задача 55484

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что катет прямоугольного треугольника равен сумме радиуса вписанной окружности и радиуса вневписанной окружности, касающейся этого катета.

Подсказка

Пусть BC — катет прямоугольного треугольника ABC ( C = 90^o). Докажите, что расстояние от вершины B до точки касания гипотенузы со вписанной окружностью равно радиусу вневписанной окружности, касающейся катета BC.

Решение

Пусть O — центр вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC, P — точка касания этой окружности с катетом BC, r — радиус этой окружности. Пусть также окружность с центром в точке O₁ и радиусом R касается катета BC в точке Q и, кроме того, касается продолжений катета AC и гипотенузы AB.

Отрезок OO₁ виден из точек C и B под прямым углом. Поэтому точки B и C лежат на окружности с диаметром OO₁. Следовательно,

BOO₁ = BCO₁ = 45^o.

Тогда OB = O₁B.

Пусть M и N точки касания окружностей с прямой AB (AM < AN). Тогда треугольники OMB и BNO₁ равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому BM = O₁N = R. Следовательно,

BC = BP + PC = BM + PC = R + r.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4806