Информация о задаче

Задача 55505

Темы:	[	Формула Герона	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике стороны относятся как 2:3:4. В него вписан полукруг с диаметром, лежащим на большей стороне. Найдите отношение площади полукруга к площади треугольника.

Подсказка

Если стороны треугольника равны 2x, 3x и 4x, а r — радиус указанного полукруга, то площадь треугольника равна ${\frac{1}{2}}$ (2x + 3x)r.

Решение

Пусть стороны треугольника равны 2x, 3x и 4x, а площадь равна S. По формуле Герона

S = $\displaystyle \sqrt{\frac{9x}{2}\cdot \frac{5x}{2}\cdot \frac{3x}{2}\cdot \frac{x}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{3x^{2}\sqrt{15}}{4}}$ .

С другой стороны, если r — радиус указанной окружности, то

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (2x + 3x)r = $\displaystyle {\frac{5xr}{2}}$ .

Отсюда находим, что r = ${\frac{3x\sqrt{15}}{10}}$ . Поэтому, если S₁ — площадь полукруга, то

S₁ = $\displaystyle {\frac{\pi r^{2}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{27\pi x^{2}}{40}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{1}}{S}}$ = $\displaystyle {\frac{9\pi}{10\sqrt{15}}}$ .

Ответ

${\frac{9\pi}{10\sqrt{15}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4827