ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55510
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите углы остроугольного треугольника ABC, если известно, что его биссектриса AD равна стороне AC и перпендикулярна отрезку OH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот треугольника ABC.


Подсказка

Продолжите отрезок CH до пересечения с описанной окружностью данного треугольника в точке F и докажите, что треугольник AOF -- равносторонний.


Решение

Продолжим отрезки AO и AH до пересечения с описанной окружностью треугольника ABC в точках E и M соответственно. Поскольку $ \angle$AME = 90o, то EM || BC. Поэтому равны меньшие дуги MC и EB. Следовательно, $ \angle$CAM = $ \angle$BAE, а т.к. AD — биссектриса угла BAC, то $ \angle$OAD = $ \angle$HAD. Тогда высота AK треугольника OAH является его биссектрисой. Следовательно, треугольник OAH — равнобедренный.

Кроме того, высота AP равнобедренного треугольника CAD также является его биссектрисой. Поэтому

$\displaystyle \angle$CAM = $\displaystyle \angle$MAD = $\displaystyle \angle$DAO = $\displaystyle \angle$OAB.

Обозначим через $ \alpha$ каждый из этих углов. Продолжим отрезок CH до пересечения с окружностью в точке F. Тогда

$\displaystyle \angle$BAF = $\displaystyle \angle$BCF = $\displaystyle \angle$BAH.

Значит, высота AL треугольника HAF является биссектрисой. Поэтому треугольник HAF — равнобедренный, а AL — его медиана. Следовательно, если R — радиус окружности, то

AF = AH = AO = R = FO,

т.е. треугольник AOF — равносторонний. Тогда

$\displaystyle \angle$AOF = 60o$\displaystyle \angle$ACF = 30o,

а т.к. $ \angle$ACF = 90o - 4$ \alpha$, то 90o - 4$ \alpha$ = 30o. Отсюда находим, что $ \alpha$ = 15o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$BAC = 4$\displaystyle \alpha$ = 60o$\displaystyle \angle$ACB = 90o - $\displaystyle \angle$CAP = 90o - $\displaystyle \alpha$ = 75o$\displaystyle \angle$ABC = 45o.


Ответ

60o, 45o, 75o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4833

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .