ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55514
Темы:    [ Угол между касательной и хордой ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке D. Прямая касается одной из этих окружностей в точке A и пересекает другую в точках B и C. Докажите, что точка A равноудалена от прямых BD и CD.


Подсказка

Проведите через точку D общую касательную к данным окружностям.


Решение

Пусть F — точка пересечения прямой AB с общей касательной к данным окружностям, проведённой через точку D; C1 — отличная от D точка пересечения прямой CD с первой окружностью. Тогда

$\displaystyle \angle$FDA = $\displaystyle \angle$FAD$\displaystyle \angle$BDF = $\displaystyle \angle$BCD

( $ \angle$BDF — угол между касательной и хордой, $ \angle$BCD — вписанный угол).

$\displaystyle \angle$ADC1 = $\displaystyle \angle$DAC + $\displaystyle \angle$ACD = $\displaystyle \angle$FDA + $\displaystyle \angle$BDF = $\displaystyle \angle$ADB.

Следовательно, DA — биссектриса угла C1DB, и точка A равноудалена от прямых BD и CD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4837

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .