ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55523
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высоты BK и BH. Известны отрезки KH = a и BD = b. Найдите расстояние от точки B до точки пересечения высот треугольника BKH.


Подсказка

Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.


Решение

Первый способ.

Поскольку диагональ BD данного параллелограмма видна из точек K и H под прямым углом, точки K и H расположены на окружности с диаметром BD. Пусть P — проекция центра O этой окружности (O — середина BD) на сторону KH треугольника BKH, M — точка пересечения высот треугольника BKH (рис.1). Тогда

OP = $\displaystyle \sqrt{OH^{2} - PH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2} -
\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}}}{2}}$.

Следовательно, BM = 2OP = $ \sqrt{b^{2} - a^{2}}$.

Второй способ.

Пусть F — проекция точки D на прямую BC, M — точка пересечения высот треугольника BKH (рис.2). При параллельном переносе на вектор $ \overrightarrow{KD}$ точка B переходит в точку F, а точка M — в точку H (т.к. KMHD — параллелограмм). Поэтому треугольник FHD равен треугольнику BMK.

В прямоугольном треугольнике KHF известны катет KH = a и гипотенуза KF = BD = b (KBFD — прямоугольник). Следовательно,

BM = FH = $\displaystyle \sqrt{KF^{2} - KH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{b^{2} - a^{2}}$.


Ответ

$ \sqrt{b^{2} - a^{2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4846
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 15
Название Параллельный перенос
Тема Параллельный перенос
параграф
Номер 1
Название Перенос помогает решить задачу
Тема Перенос помогает решить задачу
задача
Номер 15.005
журнал
Название "Квант"
год
Год 1972
выпуск
Номер 4
Задача
Номер М139

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .