ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55532
Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шафарян В.

Из произвольной точки M окружности, описанной около прямоугольника, опустили перпендикуляры MP и MQ на две его противоположные стороны, и перпендикуляры MR и MT — на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны друг другу, а их точка пересечения принадлежит диагонали прямоугольника.


Подсказка

Пусть точки P и Q принадлежат сторонам AB и CD прямоугольника ABCD, а точки T и R — продолжениям сторон AD и BC (рис.1). Опишем окружность около прямоугольника APMT. Пусть N — точка пересечения отрезка TQ с этой окружностью (отличная от T). Докажите, что $ \angle$APN = $ \angle$RPB.


Решение

Первый способ.

Пусть точки P и Q принадлежат сторонам AB и CD прямоугольника ABCD, а точки T и R — продолжениям сторон AD и BC (рис.1). Опишем окружность около прямоугольника APMT. Пусть N — точка пересечения отрезка TQ с этой окружностью (отличная от T). Тогда

$\displaystyle \angle$APN = $\displaystyle \angle$ATN = $\displaystyle \angle$DTQ = $\displaystyle \angle$DMQ = $\displaystyle \angle$DMM1 =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ DM1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ AM = $\displaystyle \angle$MBA = $\displaystyle \angle$MBP = $\displaystyle \angle$RPB.

Поэтому точка N лежит на прямой RP, а т.к. $ \angle$TNP = $ \angle$TAP = 90o, то PR $ \perp$ QT.

Поскольку $ \angle$QNR = $ \angle$QCR = 90o, то точки N, Q, C, R лежат на одной окружности (рис.2). Поэтому

$\displaystyle \angle$QNC = $\displaystyle \angle$QRC = $\displaystyle \angle$QMC = $\displaystyle \angle$M1MC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ M1C = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ MB = $\displaystyle \angle$MAB = $\displaystyle \angle$APT = $\displaystyle \angle$ANT.

Следовательно, точка N лежит на прямой AC.

Второй способ (Квант, N1, 1980, с.33.).

Пусть точки P и Q принадлежат сторонам AB и CD прямоугольника ABCD, а точки T и R — продолжениям сторон AD и BC (рис.3). Четырёхугольник AM2CM1 — прямоугольник (все его углы — прямые, поскольку AC и M1M2 — диаметры данной окружности), а четырёхугольники AM2RP и ATQM1 — параллелограммы (поскольку M2R = AP, M2R || AP и AT = M1Q, AT || M1Q). Поэтому PR || AM2 и TQ || AM1, а т.к. AM2 $ \perp$ AM1, то PR $ \perp$ TQ.

Пусть N — точка пересечения прямых PR и TQ. Докажем, что прямоугольники AFNG и AM2CM1 подобны (отсюда будет следовать, что точка N принадлежит диагонали AC).

Обозначим

AM1 = aAM2 = b$\displaystyle \angle$ATF = $\displaystyle \angle$AM2T = $\displaystyle \angle$MRP = $\displaystyle \angle$M2CR = $\displaystyle \alpha$.

Тогда

AF = AT sin$\displaystyle \alpha$ = AM2sin2$\displaystyle \alpha$ = b sin2$\displaystyle \alpha$,

AG = M2K = M2R sin$\displaystyle \alpha$ = M2C sin2$\displaystyle \alpha$ = a sin2$\displaystyle \alpha$.

Поэтому $ {\frac{AF}{AG}}$ = $ {\frac{b}{a}}$ = $ {\frac{AM_{2}}{AM_{1}}}$. Следовательно, прямоугольники AFNG и AM2CM1 подобны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4855

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .