Информация о задаче

Задача 55538

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Ходулев А.Б.

Сторона квадрата ABCD равна 1. На сторонах AB и AD выбраны точки P и Q, причём периметр треугольника APQ равен 2. Докажите, что $\angle$ PCQ = 45^o.

Подсказка

Рассмотрите вневписанную окружность треугольника APQ (или поверните треугольник CDQ на 90^o вокруг вершины C.

Решение

Первый способ.

Пусть вневписанная окружность треугольника APQ касается гипотенузы PQ в точке F, а продолжений катетов AP и AQ -- в точках X и Y соответственно (рис.1). Тогда

AX + AY = AP + PX + AQ + QY = AP + PF + AQ + QF =

= AP + AQ + (PF + QF) = AP + AQ + PQ = 2,

а т.к. AX = AY, то AX = AB и AY = AD, т.е. точка X совпадает с точкой B, а точка Y — с точкой D. Поэтому C — центр окружности. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ PCQ = 90^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAC = 90^o - 45^o = 45^o.

Второй способ.

Пусть M — образ точки D при повороте на 90^o по часовой стрелке вокруг точки C (рис.2). Тогда точка M лежит на прямой AB. Поскольку

PM = PB + BM = PB + DQ = 2 - AP - AQ = PQ,

то треугольники CPM и CPQ равны по трём сторонам, а т.к. $\angle$ QCM = 90^o, то $\angle$ PCQ = $\angle$ PCM = 45^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4861