ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55544
УсловиеОкружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Известно, что AA1 = BB1 = CC1. Докажите, что треугольник ABC — правильный.
ПодсказкаДокажите равенство треугольников CC1B и BB1C (примените теорему синусов).
РешениеТреугольник B1AC1 — равнобедренный, его равные углы при основании B1C1 — острые. Поэтому их смежные углы оба тупые и равны между собой. По теореме синусов из треугольников BB1C1 и CC1B1 находим, что
= = = .
Поэтому
sinC1BB1 = sinB1CC1, а т.к. углы острые, то
C1BB1 = B1CC1. Тогда
CC1B1 = BB1C1
и треугольники
CC1B1 и
BB1C1 равны по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно,
BC1 = CB1, BA1 = BC1 = CB1 = CA1,
т.е. A1 — середина BC. Аналогично докажем, что B1 — середина AC,
а C1 — середина AB. Тогда
AB = 2BC1 = 2BA1 = BC = 2CA1 = 2CB1 = AC.
Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|