Задача 55545

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Пусть CM – медиана треугольника ABC. Известно, что  ∠A + ∠MCB = 90°.  Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный или прямоугольный.

Подсказка

Опишите окружность вокруг треугольника ABC.

Решение

  Пусть D – точка пересечения продолжения медианы CM с описанной окружностью треугольника ABC. Тогда  ⌣CBD = 2∠CAB + 2∠BCD = 180°,  поэтому CD – диаметр.
  Если AB – не диаметр окружности (рис. слева), то   CD ⊥ AB,  так как в равнобедренном треугольнике AOB (O – центр окружности) медиана OM является высотой. Тогда медиана CM треугольника ABC также является высотой этого треугольника. Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный.

  Если же AB – диаметр, то треугольник ABC – прямоугольный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4868