ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55545
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть CM – медиана треугольника ABC. Известно, что  ∠A + ∠MCB = 90°.  Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный или прямоугольный.


Подсказка

Опишите окружность вокруг треугольника ABC.


Решение

  Пусть D – точка пересечения продолжения медианы CM с описанной окружностью треугольника ABC. Тогда  ⌣CBD = 2∠CAB + 2∠BCD = 180°,  поэтому CD – диаметр.
  Если AB – не диаметр окружности (рис. слева), то   CDAB,  так как в равнобедренном треугольнике AOB (O – центр окружности) медиана OM является высотой. Тогда медиана CM треугольника ABC также является высотой этого треугольника. Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный.

  Если же AB – диаметр, то треугольник ABC – прямоугольный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4868

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .