Задача 55632

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка M лежит на диаметре AB окружности. Хорда CD окружности проходит через точку M и пересекает прямую AB под углом в 45°.
Докажите, что величина  CM² + DM²  не зависит от выбора точки M.

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно прямой AB.

Решение

Пусть C₁ – точка, симметричная точке C относительно прямой AB. Точка C₁ лежит на данной окружности, так как сама окружность симметрична относительно диаметра AB. Поскольку  ∠C₁MD = 90°,  то   CM² + DM² = C₁M² + DM² = C₁D²,  а ∠C₁CD = ∠AMD = 45°.  Поэтому длина C₁D, а значит, и сумма  CM² + DM²  не зависит от выбора точки M.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5084
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	1
Название	Симметрия помогает решить задачу
Тема	Симметрия помогает решить задачу
задача
Номер	17.001
олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	11
задача
Номер	11.5.2