ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55659
Темы:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Тебо В.

Пусть A1, B1 и C1 — основания высот AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC. Докажите, что прямые Эйлера треугольников AB1C1, BA1C1 и CA1B1 пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Пусть AA1, BB1 и CC1 — высоты треугольника ABC, а A2, B2 и C2 — центры описанных окружностей подобных между собой треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C. Тогда прямые B1A2, B1B2 и B1C2 пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC и образуют равные углы с прямыми Эйлера треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Докажем сначала следующее утверждение. Если XY и ZY — хорды одной окружности, то образы прямых XY и ZY при поворотах в одном направлении на один и тот же угол вокруг точек соответственно X и Z пересекаются на этой окружности.

Действительно, если M — точка пересечения образов этих прямых, то либо $ \angle$YXM = $ \angle$YZM, либо $ \angle$YXM + $ \angle$YZM = 180o. Следовательно, точки X, Y, Z и M лежат на описанной окружности треугольника XYZ.

Предположим, что треугольник ABC — остроугольный. Пусть H — точка пересечения его высот AA1, BB1 и CC1; A2, B2 и C2 — центры описанных окружностей подобных между собой треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C. Точки A2, B2 и C2 лежат на окружности девяти точек треугольника ABC, т.к. AH, BH и CH — диаметры описанных окружностей треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C, а A2, B2 и C2 — центры этих окружностей.

Из подобия этих треугольников следует, что прямые B1A2, B1B2 и B1C2 образуют равные углы с прямыми Эйлера этих треугольников. Поскольку прямые B1A2, B1B2 и B1C2 пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC, то их образы при поворотах вокруг точек A2, B2 и C2 на один и тот же угол (равный углу между каждой из них и соответствующей прямой Эйлера) также пересекаются на этой окружности.

Аналогично для случая тупоугольного треугольника.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5115

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .