ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55660
Темы:    [ Композиции симметрий ]
[ Поворот (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны точки O, M и прямая l, проходящая через точку O. Прямую l повернули вокруг точки O против часовой стрелки на угол $ \alpha$, получив прямую l1. Докажите, что точка, симметричная точке M относительно прямой l1, получается из точки, симметричной точке M относительно прямой l, поворотом вокруг точки O против часовой стрелки на угол 2$ \alpha$.


Подсказка

Композиция симметрий относительно сторон угла величины $ \alpha$ есть поворот вокруг вершины этого угла на угол 2$ \alpha$.


Решение

Первый способ.

Пусть M1 и M2 — точки, симметричные точке M относительно прямых l и l1 соответственно. Тогда точка M1 переходит в точку M2 при композиции симметрий относительно прямых l и l1, т.е. при повороте вокруг точки O на угол 2$ \alpha$.

Второй способ.

Пусть M1 и M2 — точки, симметричные точке M относительно прямых l и l1 соответственно. Тогда OM = OM1 = OM2. Поэтому точки M, M1 и M2 расположены на окружности с центром O. Следовательно,

$\displaystyle \angle$M1OM2 = 2$\displaystyle \angle$M1MM2 = 2$\displaystyle \alpha$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5119

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .