Задача 55664

Темы:    [ Композиции симметрий ] [ Параллельный перенос (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что композиция двух симметрий относительно параллельных прямых есть параллельный перенос в направлении, перпендикулярном к этим прямым, на величину, равную удвоенному расстоянию между ними.

Подсказка

Проследите путь произвольной точки плоскости при композиции симметрий. Рассмотрите все возможные случаи расположения этой точки.

Решение

Пусть M₁ — образ точки M при симметрии относительно прямой l₁, а M₂ — образ точки M₁ при симметрии относительно прямой l₂; l₁ || l₂. Ясно, что MM₂ l₁.

Рассмотрим случай, когда точка M₁ расположена между точками M и M₂. Если K и H — середины отрезков MM₁ и M₁M₂, то

MM₂ = MM₁ + M₁M₂ = 2KM₁ + 2HM₁ = 2(KM₁ + HM₁) = 2h,

где h — расстояние между прямыми l₁ и l₂. Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5123