ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55670
Темы:    [ Композиции симметрий ]
[ Параллельный перенос (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что композиция симметрий относительно n параллельных прямых l1, l2, ..., ln есть:

а) параллельный перенос, если n чётно;

б) осевая симметрия, если n нечётно.


Подсказка

Композиция двух симметрий относительно параллельных прямых есть параллельный перенос. Композиция параллельного переноса в направлении, перпендикулярном некоторой прямой, и симметрии относительно этой прямой есть осевая симметрия.


Решение

Первое преобразование — параллельный перенос на вектор, перпендикулярный l и m и равный по модулю 2h, где h — расстояние между l и m.

Второе — параллельный перенос на вектор,перпендикулярный l1 и m1 и равный по модулю 2h1, где h1 — расстояние между l1 и m1. Остается заметить, что h = h1.

а) Пусть n — чётно. Группируя прямые по парам: l1 с l2, l3 с l4, ..., ln - 1 с ln, получим композицию $ {\frac{n}{2}}$ параллельных переносов, т.е. параллельный перенос.

б) Пусть n — нечётно. Группируя первые n - 1 прямых по парам, получим композицию $ {\frac{n - 1}{2}}$ параллельных переносов и симметрии относительно прямой ln, т.е. осевую симметрию.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5129

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .