Задача 55688

Темы:    [ Перенос помогает решить задачу ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две окружности радиуса R пересекаются в точках M и N. Пусть A и B — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку MN с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой MN. Докажите, что MN² + AB² = 4R².

Подсказка

Рассмотрите параллельный перенос на вектор , где O₁ и O₂ — центры окружностей.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей S₁ и S₂, точка A лежит на окружности S₁, B — на окружности S₂, A — между B и O₁.

Через точку M проведём прямую, параллельную O₁O₂. Пусть D — её точка пересечения с окружностью S₁. При параллельном переносе на вектор окружность S₁ перейдёт в окружность S₂, точка D — в точку M, точка A — в точку B. Поэтому отрезок DM равен и параллелен отрезку AB, а DMN = 90^o. Тогда, DN -- диаметр окружности. Следовательно,

4R² = DN² = DM² + MN² = AB² + MN².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5502