ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55699
Темы:    [ Перенос помогает решить задачу ]
[ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, на которой две данные окружности высекали бы равные хорды.


Подсказка

Примените параллельный перенос и теорему о касательной и секущей.


Решение

Рассмотрим случай, когда окружности расположены одна вне другой, а данная точка лежит вне обеих окружностей. Предположим, что нужная прямая проведена. Пусть M — данная точка, S1 и S2 — данные окружности, O1 и O2 — их центры, AB и CD — равные хорды (точки A, B, C, D расположены на прямой в указанном порядке).

При параллельном переносе на вектор $ \overrightarrow{CA}$ окружность S2 перейдёт в окружность S с центром O. Прямая O1O перпендикулярна общей хорде AB окружностей S и S1. Проведём из данной точки M касательные MP и MQ к окружностям S1 и S соответственно (P и Q — точки касания). По теореме о касательной и секущей

MQ2 = MA . MB = MP2.

Поэтому MQ = MP.

Пусть R — радиус окружности S2S). По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OQM находим, что

OM2 = OQ2 + MQ2 = R2 + MP2.

Следовательно, точка O лежит на окружности с центром в точке M и радиусом, равным $ \sqrt{R^{2} + MP^{2}}$. С другой стороны, т.к. $ \angle$O1OO2 = 90o, то точка O лежит на окружности с диаметром O1O2.

Отсюда выстекает следующее построение. Из данной точки M проводим касательную MP к окружности S1. Строим прямоугольный треугольник по двум катетам, равным радиусу R окружности S1 и отрезку MP. С центром в точке M проводим окружность радиусом, равным гипотенузе построенного треугольника. Пересечение этой окружности с окружностью, построенной на отрезке с концами в центрах данных окружностей как на диаметре, даёт точку O. Наконец, через точку O проводим прямую, параллельную линии центров данных окружностей. Данные окружности высекают на проведённой прямой равные хорды.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5513
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 15
Название Параллельный перенос
Тема Параллельный перенос
параграф
Номер 2
Название Построения и геометрические места точек
Тема Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек
задача
Номер 15.011
олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2008
тур
задача
Номер 15

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .