|
|
 |
Условие
Через центр квадрата проведены две перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата также образуют квадрат.
Подсказка
Рассмотрите поворот данного квадрата на 90° относительно его центра.
Решение
Пусть данные перпендикулярные прямые, проходящие через центр O квадрата ABCD, пересекают стороны AB, BC, CD и DA соответственно в точках M, N, K и L (в обоих случаях точки перечислены по часовой стрелке).
Первый способ. При повороте относительно центра O квадрата на угол 90° по часовой стрелке прямая AB переходит в прямую BC, а прямая MK – в прямую NL. Следовательно, точка M пересечения прямых AB и KM переходит в точку N пересечения прямых BC и LN. Аналогично для остальных вершин четырёхугольника MNKL.
Таким образом, при повороте относительно точки O на угол
90° четырёхугольник MNKL переходит в себя. Следовательно, это квадрат.
Второй способ. Диагональ AC квадрата проходит через точку O. Из равенства треугольников AOL и CON следует, что OL = ON. Аналогично
OK = OM. Диагонали четырёхугольника MNKL делятся точкой пересечения O пополам. Значит, MNKL – параллелограмм. Из условия следует, что его диагонали перпендикулярны. Значит, это ромб. Осталось доказать, что диагонали ромба MNKL равны.
Для этого опустим перпендикуляры NN1 и KK1 из точек N и K на стороны соответственно AD и AB данного квадрата. Из равенства прямоугольных треугольников
NN1L и KK1M (по катету и прилежащему острому углу) следует, что NL = KM.
Таким образом, диагонали четырёхугольника MNKL равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, это квадрат.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6004 |
