ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55721
Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ]
[ Поворот на 90° ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

В квадрате ABCD точки K и M принадлежат сторонам BC и CD соответственно, причём AM – биссектриса угла KAD.
Докажите, что  AK = DM + BK.


Решение 1

  Повернём треугольник ADM на 90° вокруг точки A (см. рис.). При этом он перейдёт в равный треугольник ABL, причём BL – продолжение отрезка CB. Заметим, что  ∠KAL = ∠KAB + ∠LAB = ∠KAB + ∠KAM = ∠BAM = ∠DMA = ∠KLA.
  Таким образом, треугольник AKL – равнобедренный  (AK = KL).  Отсюда  BK + DM = BK + BL = KL = AK.


Решение 2

  Считая  AB = 1,  ∠MAD = α,  имеем:  DM = tg α,  BK = ctg 2α,  AK = cosec 2α.  Задача свелась к проверке тождества:  tg α + ctg 2α = cosec 2α.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6005
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1997/1998
Номер 19
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .