ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55744
Темы:    [ Композиции поворотов ]
[ Поворот на $90^\circ$ ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.


Подсказка

Рассмотрите композицию поворотов на угол 90o вокруг центров соседних квадратов.


Решение

Пусть P, Q, R и S — центры квадратов, построенных соответственно на сторонах AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD. Рассмотрим поворот на угол 90o вокруг точки Q, переводящий вершину B в вершину C, и поворот на угол 90o вокруг точки R, переводящий C в D. Композиция этих поворотов есть поворот на угол 180
circ
, т.е. центральная симметрия. Центр этой симметрии, точка O, — середина отрезка BD, т.к. при рассматриваемой композиции поворотов точка B переходит в D.

Если Q1 — образ точки Q при этой композиции, то отрезок QQ1 проходит через точку O и делится ею пополам. Поэтому RO — высота равнобедренного прямоугольного треугольника QRQ1, и ROQ — также равнобедренный прямоугольный треугольник.

Аналогично докажем, что SOP — равнобедренный прямоугольный треугольник.

Следовательно, при повороте на угол 90o вокруг точки O, переводящем точку Q в точку R, точка S переходит в точку P, а отрезок QS — в отрезок RP. Поэтому указанные отрезки равны и перпендикулярны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6028
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 18
Название Поворот
Тема Поворот
параграф
Номер 4
Название Композиции поворотов
Тема Композиции поворотов
задача
Номер 18.034

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .