ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55761
Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.


Подсказка

Рассмотрите гомотетию относительно выбранной точки с коэффициентом 2.


Решение

Пусть P — произвольная точка; M, N, K, L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD квадрата ABCD; P1, P2, P3 и P4 — образы точки P при симметриях относительно точек M, N, K и L соответственно.

Поскольку

PP1 = 2PMPP2 = 2PNPP3 = 2PKPP4 = 2PL

и при этом точки P1, P2, P3, P4 расположены на лучах PM, PN, PK, PL соответственно, то четырёхугольник P1P2P3P4 гомотетичен четырёхугольнику MNKL относительно точки P с коэффициентом 2, а т.к. MNKL — квадрат, то четырёхугольник P1P2P3P4 — также квадрат.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6404

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .