Задача 55767

Темы:    [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ] [ Гомотетия (ГМТ) ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На окружности фиксированы точки A и B, а точка C движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC.

Подсказка

Рассмотрите гомотетию с центром в середине хорды AB и коэффициентом .

Решение

Пусть K — середина хорды AB; C — произвольная точка данной окружности, отличная от точек A и B; M — точка пересечения медиан треугольника ABC.

Поскольку KM = KC, то точка M гомотетична точке C относительно точки K с коэффициентом . Следовательно, искомое геометрическое место точек есть образ данной окружности (без двух точек A и B) при рассматриваемой гомотетии, т.е. окружность без двух точек.

Ответ

Окружность без двух точек.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6410
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	2
Название	Гомотетичные окружности
Тема	Гомотетичные окружности
задача
Номер	19.010
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	5
Название	Гомотетия
Тема	Гомотетия (ГМТ)
задача
Номер	07.026