ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55772
Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведённым из одной вершины.


Подсказка

Биссектриса треугольника делит его основание на отрезки, пропорциональные боковым сторонам.


Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть AB и AC — его данные стороны, а AD — данная биссектриса.

Вершины B и C лежат на окружностях S1 и S2 с центрами в точке A и радиусами AB и AC соответственно. Поскольку $ {\frac{BD}{DC}}$ = $ {\frac{AB}{AC}}$, то при гомотетии с центром в точке D и коэффициентом $ \left(\vphantom{-\frac{AB}{AC}}\right.$ - $ {\frac{AB}{AC}}$$ \left.\vphantom{-\frac{AB}{AC}}\right)$ вершина C перейдёт в вершину B, а окружность S2 — в окружность, проходящую через точку B. Отсюда вытекает следующий способ построения.

Строим окружности S1 и S2 с центром в конце A данного отрезка AD радиусами, равными данным сторонам. Затем строим образ окружности S2 при гомотетии с центром D и коэффициентом $ \left(\vphantom{-\frac{AB}{AC}}\right.$ - $ {\frac{AB}{AC}}$$ \left.\vphantom{-\frac{AB}{AC}}\right)$. Пересечение этого образа с окружностью S1 дает искомую вершину B.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6415

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .