Задача 56468

Темы:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и BB₁.
Докажите, что расстояние от любой точки M отрезка A₁B₁ до прямой AB равно сумме расстояний от M до прямых AC и BC.

Решение

Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон. Пусть a – расстояние от точки A₁, до прямых AC и AB, b – расстояние от точки B₁ до прямых AB и BC,  A₁M : B₁M = p : q,  причём  p + q = 1.  Тогда расстояния от точки M до прямых AC и BC равны qa и рb соответственно. С другой стороны, согласно задаче 56456 б) расстояние от точки M до прямой AB равно  qa + pb.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	1
Название	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
Тема	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
задача
Номер	01.013