ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56471
Темы:    [ Отрезки, заключенные между параллельными прямыми ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Движение помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD взяты соответственно точки P, Q, R и Sб  O – точка пересечения отрезков PR и QS.
Докажите,что если  AP : AB = DR : DC  и  AS : AD = BQ : BC,  то и  SO : SQ = AP : ABPQ : PR = AS : ;AD.


Решение 1

Пусть  AP : AP = α,  AS: AD = β.  Достаточно доказать, что     Но
  аналогично
  Таким образом, все следует из равенства     эквивалентному очевидному  


Решение 2

  Утверждение, очевидно, эквивалентно следующему.

  Пусть концы (резинового) отрезка AB двигаются с постоянными скоростями. Тогда точка M, делящая этот отрезок в данном отношении, также двигается (по некоторой) прямой с постоянной скоростью.

  Для доказательства достаточно продифференцировать равенство   r = αr1 + (1 – α)r2   (r1, r2 и r – радиус-векторы точек A, B и M соответственно).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 1
Название Подобные треугольники
Тема Подобные треугольники
параграф
Номер 1
Название Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
Тема Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
задача
Номер 01.016

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .