Задача 56479

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Условие

Пусть AC – большая из диагоналей параллелограмма ABCD. Из точки C на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуляры CE и CF соответственно. Докажите, что  AB·AE + AD·AF = AC².

Решение

Опустим перпендикуляр BG на AC (см. рис.). Из подобия треугольников ABG и ACE получаем  AC·AG = AE·AB.  Прямоугольные треугольники CBG и ACF подобны, поэтому  AC·CG = AF·BC.  Складывая, получаем  AC·AG + AF·BC = AC·(AG + CG) = AC².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	2
Название	Отношение сторон подобных треугольников
Тема	Отношения линейных элементов подобных треугольников
задача
Номер	01.024