Задача 56490

Темы:    [ Площадь трапеции ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD взяты точки M и N так, что отрезок MN параллелен основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите длину MN, если BC = a и AD = b.

Решение

Пусть MN = x; E — точка пересечения прямых AB и CD. Треугольники EBC, EMN и EAD подобны, поэтому S_EBC : S_EMN : S_EAD = a² : x² : b². Так как S_EMN - S_EBC = S_MBCN = S_MADN = S_EAD - S_EMN, то  x² - a² = b² - x², т. е.  x² = (a² + b²)/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	3
Название	Отношение площадей подобных треугольников
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.034