Задача 56494

Темы:    [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точка O, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника площади S, отражается симметрично относительно середин его сторон.
Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных точках.

Решение

Пусть E, F, G и H – середины сторон четырёхугольника ABCD, точки E₁, F₁, G₁ и H₁ симметричны точке O относительно этих точек. Так как EF – средняя линия треугольника E₁OF₁, то  S_E1OF1 = 4S_EOF.  Аналогично  S_F1OG1 = 4S_FOG,  S_G1OH1 = 4S_GOH  и  S_H1OE1 = 4S_HOE.  Поэтому   S_E1F1G1H1 = 4S_EFGH.  Согласно задаче 56493 а)   S_ABCD = 2S_EFGH.  Поэтому  S_E1F1G1H1 = 2S_ABCD = 2S.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	3
Название	Отношение площадей подобных треугольников
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.038