ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56599
Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямая, проходящая через вершину C равнобедренного треугольника ABC, пересекает основание AB в точке M, а описанную окружность в точке N. Докажите, что  CM . CN = AC2 и  CM/CN = AM . BM/(AN . BN).

Решение

Так как  $ \angle$ANC = $ \angle$ABC = $ \angle$CAB, то  $ \triangle$CAM $ \sim$ $ \triangle$CNA, а значит,  CA : CM = CN : CA, т. е.  CM . CN = AC2, и  AM : NA = CM : CA. Аналогично  BM : NB = CM : CB. Поэтому  AM . BM/(AN . BN) = CM2/CA2 = CM2/(CM . CN) = CM/CN.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 2
Название Вписанный угол
Тема Вписанный угол
параграф
Номер 6
Название Вписанный угол и подобные треугольники
Тема Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер 02.056

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .