ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56601
Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на прямые BC, CA и AB. Докажите, что  PC12 = PA1 . PB1 и PA1 : PB1 = PB2 : PA2.
б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры  OA', OB', OC' на стороны треугольника ABC и перпендикуляры  OA'', OB'', OC'' на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что  OA' . OB' . OC' = OA'' . OB'' . OC''.

Решение

a)  $ \angle$PBA1 = $ \angle$PAC1 и  $ \angle$PBC1 = $ \angle$PAB1, поэтому прямоугольные треугольники PBA1 и PAC1PAB1 и PBC1 подобны, т. е.  PA1 : PB = PC1 : PA, PB1 : PA = PC1 : PB. Перемножив эти равенства, получим  PA1 . PB1 = PC12, а поделив их, получим PA1 : PB1 = PB2 : PA2.
б) Согласно а)  OA'' = $ \sqrt{OB'\cdot OC'}$, OB'' = $ \sqrt{OA'\cdot OC'}$, OC'' = $ \sqrt{OA'\cdot OB'}$. Перемножая эти равенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 2
Название Вписанный угол
Тема Вписанный угол
параграф
Номер 6
Название Вписанный угол и подобные треугольники
Тема Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер 02.058

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .