ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56614
Тема:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. P - точка пересечения диагоналей. Известен радиус описанной окружности R.
а) Найдите  AP2 + BP2 + CP2 + DP2.
б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника ABCD.

Решение

Пусть  $ \angle$AOB = 2$ \alpha$ и  $ \angle$COD = 2$ \beta$. Тогда  $ \alpha$ + $ \beta$ = $ \angle$ADP + $ \angle$PAD = 90o. Поэтому  (AP2 + BP2) + (CP2 + DP2) = AB2 + CD2 = 4R2(sin2$ \alpha$ + cos2$ \alpha$) = 4R2. Аналогично  BC2 + AD2 = 4R2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 2
Название Вписанный угол
Тема Вписанный угол
параграф
Номер 8
Название Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
Тема Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
задача
Номер 02.071

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .