ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56629
Тема:    [ Точка Микеля ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямая пересекает стороны AB, BC и CA треугольника (или их продолжения) в точках C1, B1 и A1O, Oa, Ob и Oc — центры описанных окружностей треугольников  ABC, AB1C1, A1BC1 и A1B1CH, Ha, Hb и Hc — ортоцентры этих треугольников. Докажите, что:
а)  $ \triangle$OaObOc $ \sim$ $ \triangle$ABC.
б) серединные перпендикуляры к отрезкам  OH, OaHa, ObHb и OcHc пересекаются в одной точке.

Решение

а) Пусть P — точка Микеля для прямых AB, BC, CA и A1B1. Углы между лучами PA, PB, PC и касательными к окружностям  Sa, Sb, Sc соответственно равны $ \angle$(PB1, B1A) = $ \angle$(PC1, C1A),$ \angle$(PC1, C1B) = $ \angle$(PA1, A1B),$ \angle$(PA1, A1C) = $ \angle$(PB1, B1C). А так как  $ \angle$(PC1, C1A) = $ \angle$(PC1, C1B) = $ \angle$(PA1, A1C) = $ \varphi$, то при повороте на угол $ \varphi$ с центром P прямые PA, PB и PC переходят в касательные к окружностям Sa, Sb и Sc, а значит, при повороте на угол  90o - $ \varphi$ эти прямые переходят в прямые POa, POb и POc. Кроме того,  POa/PA = POb/PB = POc/PC = 1/2 sin$ \varphi$. Следовательно, при повороте на  90o - $ \varphi$ и гомотетии с центром P и коэффициентом  1/2 sin$ \varphi$ треугольник ABC переходит в OaObOc.
б) Рассмотренное в решении задачи а) преобразование переводит центр O описанной окружности треугольника ABC в центр O' описанной окружности треугольника OaObOc, а ортоцентр H треугольника ABC в ортоцентр H' треугольника OaObOc. Достроим треугольник OO'H' до параллелограмма OO'H'M. Так как  OH/OM = OH/O'H' = 2 sin$ \varphi$ и  $ \angle$HOM = $ \angle$(HO, O'H') = 90o - $ \varphi$, то MH = MO, т. е. точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку OH. Остается заметить, что для вписанного четырехугольника  OOaObOc с точка M определена однозначно: взяв вместо точки O любую из точек  Oa, Ob, Oc, получим ту же самую точку M (см. задачу 13.33).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 2
Название Вписанный угол
Тема Вписанный угол
параграф
Номер 10
Название Точка Микеля
Тема Точка Микеля
задача
Номер 02.084

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .