Задача 56666

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Через точку P, лежащую на общей хорде AB двух пересекающихся окружностей, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности. Докажите, что четырехугольник KLMN вписанный.

Решение

Пусть P — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Четырехугольник ABCD вписанный тогда и только тогда, когда  APB DPC, т. е.  PA ^. PC = PB ^. PD. Так как четырехугольники ALBN и AMBK вписанные, то  PL ^. PN = PA ^. PB = PM ^. PK. Поэтому четырехугольник KLMN вписанный.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	2
Название	Произведение длин отрезков хорд
Тема	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих
задача
Номер	03.009