Задача 56669

Тема:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3 Классы: 8

Условие

В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD; M — такая точка диагонали AC, что четырехугольник BCDM вписанный. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда  MO ^. OC = BO ^. OD. Тогда как OC = OA и BO = OD, то  MO ^. OA = BO² и  MO ^. OA = DO². Эти равенства означают, что OB касается описанной окружности треугольника ABM и OD касается описанной окружности треугольника ADM.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	2
Название	Произведение длин отрезков хорд
Тема	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих
задача
Номер	03.012