Задача 56785

Тема:    [ Площадь (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На биссектрисе угла A треугольника ABC взята точка A₁ так, что  AA₁ = p - a = (b + c - a)/2, и через точку A₁ проведена прямая l_a, перпендикулярная биссектрисе. Если аналогично провести прямые l_b и l_c, то треугольник ABC разобьется на части, среди которых четыре треугольника. Докажите, что площадь одного из этих треугольников равна сумме площадей трех других.

Решение

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, B₁ — точка касания вписанной окружности со стороной AC. Вырежем из треугольника ABC треугольник AOB₁ и отразим его симметрично относительно биссектрисы угла OAB₁. При этом прямая OB₁ перейдет в прямую l_a. Проделаем такую операцию для остальных треугольников. Общие части полученных при этом треугольников являются тремя треугольниками рассматриваемого разбиения, а непокрытая часть треугольника ABC — четвертым треугольником. Ясно также, что площадь непокрытой части равна сумме площадей частей, покрытых дважды.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	5
Название	Разные задачи
Тема	Площадь (прочее)
задача
Номер	04.034