ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56811
Тема:    [ Перегруппировка площадей ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.

Решение

Отрежем от правильного восьмиугольника треугольники и переставим их так, как показано на рис. В результате получим прямоугольник, стороны которого равны наибольшей и наименьшей диагоналям восьмиугольника. Тогда  B1C1 = 2 sin(A/2), а значит,  2 sin(A/2)Ra $ \geq$ dc + db. Умножая это неравенство на аналогичные неравенства для Rb и Rc и учитывая, что  sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) = r/4R (задача 12.36, а)), получаем требуемое.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 4
Название Площадь
Тема Площадь
параграф
Номер 9
Название Перегруппировка площадей
Тема Перегруппировка площадей
задача
Номер 04.059

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .