ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56812
Тема:    [ Перегруппировка площадей ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.

Решение

Пусть A1, B1 и C1 — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. Проведенные отрезки являются высотами треугольников  AB1C1, A1BC1 и A1B1C. Пусть P, Q и R — точки пересечения высот этих треугольников, а O — точка пересечения высот треугольника A1B1C1 (рис.). Рассматриваемый шестиугольник состоит из треугольника A1B1C1 и треугольников  B1C1P, C1A1Q и A1B1R. Ясно, что $ \triangle$B1C1P = $ \triangle$C1B1O,$ \triangle$C1A1Q = $ \triangle$A1C1O и  $ \triangle$A1B1R = $ \triangle$B1A1O. Поэтому площадь рассматриваемого шестиугольника равна удвоенной площади треугольника A1B1C1. Остается заметить, что  SABC = 4SA1B1C1.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 4
Название Площадь
Тема Площадь
параграф
Номер 9
Название Перегруппировка площадей
Тема Перегруппировка площадей
задача
Номер 04.060

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .