ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56872
Тема:    [ Целочисленные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m2 - n2, а гипотенуза равна m2 + n2, где m и n — натуральные числа.




Решение

Пусть a и b — катеты, c — гипотенуза данного треугольника. Если числа a и b нечетные, то a2 + b2 при делении на 4 дает остаток 2 и не может быть квадратом целого числа. Поэтому одно из чисел a и b четное, а другое нечетное; пусть для определенности a = 2p. Числа b и c нечетные, поэтому c + b = 2q и c - b = 2r. Следовательно  4p2 = a2 = c2 - b2 = 4qr. Если бы числа q и r имели общий делитель d, то на d делились бы числа  a = 2$ \sqrt{qr}$, b = q - r и c = q + r. Поэтому числа q и r взаимно просты, а так как p2 = qr, то q = m2 и r = n2. В итоге получаем  a = 2mn, b = m2 - n2 и c = m2 + n2.
Легко проверить также, что если  a = 2mn, b = m2 - n2 и c = m2 + n2, то  a2 + b2 = c2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 5
Название Целочисленные треугольники
Тема Целочисленные треугольники
задача
Номер 05.037

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .