Задача 56877

Тема:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.
Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.

Решение

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ не может быть двух пар соответственных углов, составляющих в сумме 180°, так как иначе их сумма равна 360° и третьи углы треугольников должны быть нулевыми. Предположим теперь, что углы первого треугольника равны α, β и γ, а углы второго равны  180° – α, β и γ. Сумма углов двух треугольников равна 360°, поэтому  180° + 2β + 2γ = 360°,  то есть  β + γ = 90°.  Следовательно,  α = 90° = 180° – α.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.042