Задача 56902

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Касающиеся окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Окружность S касается окружностей S₁ и S₂ в точках A₁ и A₂.
Докажите, что прямая A₁A₂ проходит через точку пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям S₁ и S₂.

Решение

Пусть O, O₁ и O₂ – центры окружностей S, S₁ и S₂; X – точка пересечения прямых O₁O₂ и A₁A₂. Применяя теорему Менелая к треугольнику OO₁O₂ и точкам A₁, A₂ и X, получаем    а значит,  O₁X : O₂X = R₁ : R₂,  где R₁ и R₂ – радиусы окружностей S₁ и S₂. Следовательно, X – точка пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям S₁ и S₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	7
Название	Теорема Менелая
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.060