ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56903
Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Серединный перпендикуляр к биссектрисе AD треугольника ABC пересекает прямую BC в точке E. Докажите, что  BE : CE = c2 : b2.
б) Докажите, что точки пересечения серединных перпендикуляров к биссектрисам треугольников и продолжений соответствующих сторон лежат на одной прямой.

Решение

а) Пусть для определенности  $ \angle$B < $ \angle$C. Тогда  $ \angle$DAE = $ \angle$ADE = $ \angle$B + $ \angle$A/2, а значит, $ \angle$CAE = $ \angle$B. Так как

$\displaystyle {\frac{BE}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin BAE}{\sin AEB}}$    и    $\displaystyle {\frac{AC}{CE}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin AEC}{\sin CAE}}$,

то

$\displaystyle {\frac{BE}{CE}}$ = $\displaystyle {\frac{c\sin BAE}{b\sin CAE}}$ = $\displaystyle {\frac{c\sin(A+B)}{b\sin B}}$ = $\displaystyle {\frac{c\sin C}{b\sin B}}$ = $\displaystyle {\frac{c^2}{b^2}}$.


б) В задаче а) точка E лежит на продолжении стороны BC, так как  $ \angle$ADC = $ \angle$BAD + $ \angle$B > $ \angle$CAD. Поэтому, используя результат задачи а) и теорему Менелая, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 7
Название Теорема Менелая
Тема Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер 05.061

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .